روش بدست آوردن اعداد فیثاغورسی و اثبات آن

[مهرشاد]

روش بدست آوردن اعداد فیثاغورسی و اثبات آن

x1^2 + x2^2 = x3^2

اعداد فیثاغورسی
x1 , x2 , x3

از روابط زیر بدست می آیند

x1 = n + 2m
x3 = n + x2
x2 = (2m^2/n) + 2m

متغیر های m و n اعداد طبیعی هستند و n فقط مقادیری می تواند داشته باشد که
2m^2
بر آن بخش پذیر باشد

? اثبات

x1^2 + x2^2 = x3^2

x1^2 = x3^2 - x2^2 = (x3 - x2)(x3 + x2)
عبارت
x3 - x2
عدد طبیعی است مساوی n قرار می دهیم
n = x3 - x2
و به دو رابطه زیر می رسیم

x1^2 = n(x3+x2)

x3 = n + x2

در این دو معادله x1 و x3 تابعی از n و x2 هستند

از این دو معادله نتیجه می گیریم

x1^2 = n(n + 2x2)

از این رابطه نتیجه می گیریم
n < x1
بنابراین
x1 = n + k

با قرار دادن x1 و x3 در معادله اول داریم

(n + k)"2 + x2^2 = (n + x2)^2

با این ترفند از دو طرف معادله مربع x2 حذف می شود

n^2 + 2nk + k^2 = n^2 + 2nx2

و x2 بدست می آید
x2 = k^2/2n + k
عدد k نمی تواند فرد باشد چون اگر فرد باشد
k^2/2n
نمی تواند عدد طبیعی شود بنابراین
k = 2m
بنابراین داریم
x1 = n + 2m
x2 = (2m^2/n) + 2m