? Symmetry of second derivatives تقارن مشتقات دوم

[مهرشاد]

برای دیدن لینک ها باید ثبت نام کنید

? Symmetry of second derivatives
تقارن مشتقات دوم

∂(∂f(x,y)/∂x)/∂y = ∂(∂f(x,y)/∂y)/∂x
اثبات

∂f(x,y)/∂x = [f(x+dx,y) - f(x,y)]/dx

g(x,y) = [f(x+dx,y) - f(x,y)]/dx

∂g(x,y)/∂y = [g(x,y+dy) - g(x,y)]/dxdy

∂[∂f(x,y)/∂x]/∂y = [f(x+dx,y+dy) - f(x+dx,y) - f(x,y+dy) + f(x,y)]/dxdy

∂f(x,y)/∂y = [f(x,y+dy) - f(x,y)]/dy

h(x,y) = [f(x,y+dy) - f(x,y)]/dy

∂h(x,y)/∂x = [h(x+dx,y) - h(x,y)]/dydx

∂[∂f(x,y)/∂y]/∂x = [f(x+dx,y+dy) - f(x,y+dy) - f(x+dx,y) + f(x,y)]/dxdy
درنتیجه
∂(∂f(x,y)/∂x)/∂y = ∂(∂f(x,y)/∂y)/∂x

? اثبات مفهومی

مقادیر چهار نقطه زیر را نامگذاری می کنیم.
A = f(x+dx,y+dy)
B = f(x,y+dy)
C = f(x+dx,y)
D = f(x,y)
در حالت اول در صورت کسر داریم
(A-C)-(B-D) = A+D-B-C
و حالت دوم
(A-B)-(C-D) = A+D-B-C
بعبارت دیگر تغییری که نقطه A نسبت به نقطه C دارد منهای تغییر نقطه B نسبت به نقطه D که همان معادله اول است برابر است با تغییر نقطه A نسبت به نقطه B منهای تغییر نقطه C نسبت به نقطه D که معادله دوم است